Nous présenterons la Morphologie Mathématique comme une approche non linéaire du traitement d'images, basée sur des critères de forme et de taille. Nous essaierons de montrer son attrait en mettant en avant l'élégance de sa théorie ainsi que la puissance des outils qu'elle permet de construire : fonction distance, filtres, arbres des formes, algorithme du Watershed pour la segmentation, pour les principaux.
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Cartes sur des surfaces et leur énumération.
Les cartes sont les structures combinatoires décrivant le plongement d'un graphe dans une surface, ou de manière équivalente la décomposition d'une surface en facettes polygonales. Je parlerai du lien avec le groupe symétrique et les factorisations de permutations. Je présenterai les bases des approches dites "bijectives" à l'énumération de ces objets, en me concentrant sur le cas des cartes à une face et des cartes planaires. J'évoquerai pour conclure les résultats impressionnants obtenus par les approches algébriques type "hiérarchie KP" (que je ne détaillerai pas), qui sont autant de problèmes ouverts pour l'approche combinatoire.
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Analyse statique et réduction de modèles de voies de signalisation intra-cellulaires.
Devant la complexité — toujours croissante — de ce que l’on sait des interactions entre protéines qui interviennent dans les voies de signalisation, l’informatique offre un espoir pour organiser, formaliser et agréger nos connaissances et nos hypothèses en des modèles formellement définis, dans le but de les exécuter, d'inférer leurs propriétés et de tenter de mieux comprendre comment le comportement collectif de ces modèles émerge des interactions individuelles entre protéines.
En particulier, nous utilisons un langage de réécriture de graphes, inspiré de la biochimie pour décrire les interactions, de liaison, de déliaison, et d’échange d’énergie entre les protéines, qui offre un choix de plusieurs sémantiques, parmi lesquelles une sémantique stochastique et une sémantique différentielle.
Nous développerons une première analyse statique pour inférer les invariants structurels des complexes biochimiques formés par les agrégats de protéines qui sont susceptibles d’apparaître dans un modèle, afin d’améliorer notre confiance en celui-ci.
Puis nous développons une analyse pour borner le flot d’information dans chaque complexe biochimique afin de déduire des changements de variables qui permettent de réduire la dimension des systèmes différentiels sous-jacent.
Modélisation sous forme de règle - analyse statique - réduction de modèle - flot d’information - interprétation abstraite.
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Transformations de graphes décorés
Les transformations de graphes sont une généralisation de la réécriture à des structures non linéaires, plébiscitées pour étudier l’évolution de systèmes complexes. L’approche usuelle par « double somme amalgamée » explore des règles définies par trois graphes décrivant les motifs supprimés, ajoutés et préservés lors de la transformation. Pour représenter des classes de données particulières, on ajoute de l’information sur les nœuds et arcs des graphes. En fonction des propriétés de l’information ajoutée, différentes représentations ou « décorations » sont possibles. Dans ce chapitre, nous présenterons les règles transformations de graphes et explorerons différentes méthodes pour les étendre aux graphes décorés. Nous illustrerons ces notions pour la description d'opérations de modélisation géométrique à l'aide des cartes combinatoires.
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Structures combinatoires pour la modélisation géométrique à base topologique
La modélisation géométriques à base topologique est utilisée dans différents domaines de l'informatique graphique (Computer Aided Design, Computational Geometry, Simulation, Geometrie discrète, Animation...). Dans ce cadre on s'intéresse en particulier à la description d'objets structurés, subdivisés en cellules de différentes dimensions (sommets, arêtes, faces, volumes...). Une structure combinatoire (ou structure topologique) permet donc d'assembler des cellules (abstraites) liées entre elles par des relations d'incidence.
Selon les besoins, il peut s'avérer utile d'utiliser un type particulier de cellules (par exemple, en géométrie discrète ou en simulation, on travaille usuellement sur des structures à base de cubes, alors qu'en géométrie algorithmique ou en rendu, il est fréquent de travailler sur des structures à base de simplexes. Dans d'autres contextes, il peut s'avérer utile, notamment pour des soucis d'optimisation, d'utiliser des structures permettant de manipuler des briques de base moins régulières (où par exemple, une face peut être bordée par un nombre quelconque d'arêtes). Un second élément essentiel à prendre en compte lorsque l'on choisit une structure combinatoire concerne les types d'assemblages que l'on souhaite pouvoir construire et manipuler. Il existe en effet différentes variantes de structures (parfois équivalentes) permettant de représenter des assemblages plus ou moins contraints. Par exemple, certaines structures autorisent une cellule d'être incidence à elle même ou non, de garantir des propriétés globales de l'objet : variétés (ou quasi-variétés), pseudo-variétés, ou bien des assemblages quelconques, aussi appelés complexes.
Enfin, il est important de pouvoir associer une géométrie aux structures que l'on manipule.
Nous proposons un tour d'horizon des familles de structures structures combinatoire utilisées en modélisation géométrique à base topologique : simpliciales, simploïdales et cellulaires. Nous présenterons les opérations de construction de base, ainsi que les liens entre ces structures. Un focus sera fait sur les plongements des structures simpliciales et simploïdales sur les espaces de Bézier.
Mots clés : Complexes simpliciaux abstraits, ensembles semi-simpliciaux, ensembles simpliciaux, , espaces triangulaires de Bézier, ensembles semi-simploïdaux, ensembles simploïdaux, espaces simploïdaux de Bézier, cartes combinatoires, graphes d'incidence.
